تبلیغات
ریاضی را آسان بیاموزیم - معادله خط(کلاس سوم)

ریاضی را حفظ نکنیم با تمرین کردن یاد بگیریم

معادله خط(کلاس سوم)

نویسنده :رضا سازمند
تاریخ:جمعه 11 شهریور 1390-10:22 ق.ظ

 

  معادله های خطی

 

معادله خط رابطه ی بین طول (X) و عرض (Y) نقاط واقع بر یک خط را معادله ی آن خط می گویند که به صورت یک تساوی نوشته می شود .

 

مثال: به خط L توجه کنید . نقاط روی این خط قرار دارند .مشاهده می کنیم که طول و عرض این نقاط با هم مساویند . هر نقطه ای که طول و عرض آن مساوی باشد بر خط L قرار می گیرد و هر نقطه ای که روی خط L باشد طول و عرض آن مساوی است.

      

اگر طول هر نقطه را با X و عرض آن را با Y نشان دهیم ، رابطه Y=X را معادله ی خط (L) می نامیم. این تساوی، رابطه ی بین طول و عرض نقاط را مشخص می کند.

 

انواع خط:

در هر یک از تصاویر زیر به خط رسم شده توجه کنید .مختصات نقاط داده شده از خط را بیان کنید و معادله ی خط را بنویسید.

  مثال1:

 حل:   

نکته: این نوع خط ها موازی محور طول ها هستند و معادله ی آن ها به صورت Y=b نوشته می شود . (b یک عدد ثابت برای همه ی نقاط می باشد.)

مانند   1=Y=-2  ،    y و ........


مثال2:  

حل: 

نکته: این نوع خط ها موازی محور عرض ها هستند و معادله ی آن ها به صورت x=a نوشته می شود. (a یک عدد ثابت برای طول همه ی نقاط می باشد.)

مانند   1=X=-2  ،    X و ........


مثال3: 

حل: 

نکته: این نوع خط از مبدأ مختصات می گذرد و معادله ی آن به صورت  Y=mx نوشته می شود.

مانند:   


مثال 4:  

حل: 

نکته: این نوع خط نه موازی محوری است، نه از مبدأ مختصات می گذرد و معادله ی آن به صورت Y=mx+n می با شد. مانند:


دانش آموزان عزیز: انواع دیگری از خط را که به نظرتان می رسد در یک صفحه ی مختصات رسم کنید و در مورد معادله خط مربوط به هر کدام تحقیق کنید.

 

صورت استاندارد معادله خط:

هر رابطه ی درجه ی اول بین X و Y مانند: 1-Y=2x و 6=3x+Y را معادله ی خط گو یند صورت استاندارد معادله ی خط   Y=mx+n می باشد که در آن m و n دو عدد معلوم و مشخص هستند.صورت دیگر معادله ی خط ax+by=c   می باشد که در آن c و b و a سه عدد معلوم می باشند که با هم صفر نیستند و آنرا معادله ی خطی یا معادله ی ضمنی می نامند.

 

رسم خطی که معادله ی آن داده شده است:

برای رسم یک خط راست به ترتیب زیر عمل می کنیم .

الف:مختصات دو نقطه ی دلخواه آن خط را پیدا می کنیم .

ب:جای این دو نقطه را درصفحه ی مختصات مشخص می کنیم .

ج: این دو نقطه را به هم وصل کرده از دو طرف امتداد می دهیم.

 

مثال:در هر یک از تصاویر زیر معادله ی یک خط داده شده است. نمودار هر یک از خط های داده شده را رسم کنید.  

 

مثال 1:      Yx

حل:ابتدا عدد های مختلفی به x می دهیم و عدد های نظیر آن ها را برای y به دست می آوریم.

 

        

 


 

مثال 2:      x+۲y=۴

حل:پیشنهاد:در این معادله ،ابتدا به x عدد صفر را می دهیم و جواب نظیر آنرا برای y بدست می آوریم و سپس بر عکس عمل می کنیم ،به yعدد صفر می دهیم و جواب نظیر آنرا برای x بدست می آوریم.

  

 


 

مثال 3:     

پیشنهاد: در این معادله، ابتدا به X عدد صفر را می دهیم و جواب نظیر آن را برای Y بدست می آوریم و سپس به X عدد 3 را می دهیم، (مخرج کسر) وجواب نظیر آن را برای Y بدست می آوریم.

   

 


 

مثال 4:      

حل: این معادله را می توانیم به صورت استاندارد بنویسیم و سپس آن را رسم کنیم:

   

 


 

مثال 5:   y=۳

حل: این معادله نشان می دهد که عرض همه ی نقاط برابر 3 می باشد.

 


 

مثال 6:   X=

حل:این معادله نشان می دهد که طول همه ی نقاط برابر 2- می باشد

 


شیب خط:     

شیب به معنی سرازیری است (مقابل فراز) و در ریاضیات هر چه زاویه ای که خط با محور افقی می سازد بیشتر باشد ، شیب خط بیشتر است و بر عکس هر چه زاویه ای که خط با محور افقی می سازد کمتر باشد ، شیب خط نیز کمتر است.  


در صفحه ی مختصات زیر کدام خط شیب بیشتری دارد؟     

  

با توجه به خط های بالا y=۳x بیشترین شیب را دارد در مقایسه ی ضریب x مشاهده می کنیم که      می باشد یعنی: هر چه ضریب x بیشتر باشد شیب خط  بیشتر است و هر چه ضریب x کمتر باشد شیب خط کمتر است به طور کلی می توان گفت: اگر معادله ی خطی به صورت y=ax+b نوشته شود، عدد a که ضریب x      می باشد، شیب خط نام دارد .

 

عرض از مبدأ: 

فاصله ای که خط از مبدأ گرفته و محور عرض ها را قطع می کند را عرض از مبدأ خط می گویند.

به عبارت دیگر: عرض نقطه بر خورد خط با محور y ها را عرض از مبدأ گویند.

در صفحه ی مختصات زیر محل بر خورد هر خط با محور عرض ها مشخص شده است.

      

اکنون نقطه های A و B و C را با معادله ی مربوط به هر خط مقایسه کنید.

به طور کلی می توان گفت :عدد b در معادله ی y=ax+b را عرض از مبدأ این خط می نامیم .اگر خط از مبدأ مختصات بگذرد عرض از مبدأ آن صفر می شود و معادله ی خط به صورت y=ax در می آید. 

 

بیش تر بدانیم


اگر مختصات یک نقطه در معادله خط صدق کند, آنگاه آن نقطه متعلق به خط می باشد.

مثال: آیا نقطه روی خط قرار دارد؟

حل: بله نقطه A روی خط واقع است. اگر به جای y و x در معادله خط طول و عرض نقطه را قرار دهیم, به یک رابطه درست می رسیم.

 

 

  دو خط را در نظر می گیریم: 

الف) دو خط بر هم منطبق اند, اگر 'b=b' , a=a باشند.

ب) دو خط با هم موازی اند, اگر 'bb' , a=a .

ج) دو خط بر هم عمودند, اگر 1-='a×a

 

مثال: دو خط y=5x+2 و y=5x+2 برهم منطبق هستند.

       دو خط y=5x+2 و y=5x-1 باهم موازی هستند.

       دو خط y=5x+2 و  بر هم عمود هستند.

 

شیب خطی که از دو نقطه ی می گذرد،از رابطه ی زیر بدست می آید:

 مثال:در شکل مقابل شیب خط (d) را حساب کنید.  

   

 

معادله ی خطی که از مبدأ مختصات و نقطه ی می گذزد ، به صورت می باشد.

 

مثال:معادله ی خطی را بنویسید که از مبدأ مختصات و نقطه ی می گذرد؟

 

حل: معادله ی خطی که از مبدأ مختصات می گذرد به صورتy=ax می باشد، و با توجه به نکته ی قبل می توان شیب خط را مشخص کرد. 

 

  معادله خطی که شیب آن a باشد و از نقطه ی بگذرد ،از رابطه ی زیر بدست می آید: 

   

مثال:معادله ی خطی را بنویسید که شیب آن 2 باشد و از نقطه ی بگذرد.

 

حل:(y-()=۲(x-۱         

     y+۱=۲x-۲

    y=۲x-۲-۱

    y=۲x-۳

 

  معادله ی خط محور طول ها به صورتy=0 و معادله خط محور عرض ها به صورت = x می باشد.

 

  اگر در هر معادله ی خط به طول مقدار صفر بدهیم ، انگاه برای عرض مقداری مشخص می شود که «عرض از مبدأخط»می باشد و اگر در یک معادله ی خط به عرض مقدار صفر بدهیم ،آنگاه برای طول مقداری مشخص می شود که «طول از مبدأخط »می باشد.

مثال:عرض از مبدأ و طول از مبدأ خط را بدست آورید.

 

 

 

 

بنابراین نقاط محل بر خورد این خط با محور های مختصات را نشان می دهد و می توان گفت که :عرض از مبدأ این خط 3- و طول از مبدأ آن 2 می باشد. 

  معادله خطی که طول از مبدأ و عرض از مبدأ آن A و B باشند به صورت زیر است: 

    

 مثال:با توجه به شکل مقابل به سئوالات داده شده پاسخ دهید.

 

الف)عرض از مبدأ خط  ( d ) را بنویسید.

ب)طول از مبدأ خط ( d ) را بنویسید.

ج)شیب خط ( d ) را مشخص کنید.

د)معادله خط ( d ) رابنویسید.

 

حل:

الف) چون خط محور عرض ها را در نقطه قطع می کند, بنابراین عرض از مبدأ خط 3 است.

ب) چون خط محور طول ها را در نقطه قطع می کند, بنابراین طول از مبدأ خط 2- است.

ج) شیب خطی که از دو نقطه B,A عبور می کند, برابر است با:

د) معادله خط (d) برابر است با:

 

 

فاصله مبدأ مختصات تا نقطه از رابطه مقابل بدست می آید:

مثال: فاصله نقطه را از مبدأ مختصات بدست آورید.

حل: با توجه به رابطه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه می توان نوشت:

 

  فاصله دو نقطه و از رابطه مقابل بدست می آید:

 

مثال: فاصله دو نقطه و را بدست آورید:

حل:رابطه ی فیثاغورس   

 

 

 

 

 

 

  اگر معادله خط به صورت Ax+By+c=0 باشد, آنگاه:

مثال: شیب خط, عرض از مبدأ و طول از مبدأ خط 3y+۲x-۳=i را بدست آورید.

         حل:2x + ۳y - ۳ = i => A = ۲ , B = ۳ , C = -۳

 

دو خط A'x + B'y + c' = , Ax + By + c = i را در نظر می گیریم:

الف) اگر باشد, دو خط برهم منطبق هستند.

ب) اگر , دو خط با هم موازیند.

ج) اگر AA' + BB' = i باشد, دو خط بر هم عمودند.

مثال: مقدار m را چنان تعیین کنید که دو خط زیر بر هم عمود باشند.

 

حل:

 




داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 
حسنا
جمعه 2 خرداد 1393 04:32 ب.ظ
ممنون فقط یه پیشنهاد دارم به نظر من اگه قالب وبلاگتون رو جذابتر انتخاب کنید روی علاقه ی دانش اموزان به وبلاگ شما و در نتیجه به درس ریاضی بیشتر می کنه از زحمات شما و معلمین گرامی سپاسگذارم
یلدا
یکشنبه 11 اسفند 1392 07:30 ب.ظ
خیلی ممنون،عالی بود.
مهدی
سه شنبه 8 بهمن 1392 02:27 ب.ظ
مرسی خوب بودمرسی خوب بودمرسی خوب بودمرسی خوب بود
نرمین
پنجشنبه 3 اسفند 1391 06:55 ب.ظ
ممنون خیلی خوب بود
گلاره
یکشنبه 15 بهمن 1391 10:03 ب.ظ
ممنون
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر




Admin Logo
themebox Logo